Conversões entre Bases
Vamos analisar agora as regras gerais para converter números entre duas bases quaisquer.

Conversões entre as bases 2, 8 e 16
As conversões mais simples são as que envolvem bases que são potências entre si. Vamos exemplificar com a conversão entre a base 2 e a base 8. Como 2³ = 8, separando os bits de um número binário em grupos de tres bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e convertendo cada grupo de tres bits para seu equivalente em octal, teremos a representação do número em octal. Por exemplo:

10101001₂ = 10.101.001₂ (separando em grupos de 3, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 010₂ = 2₈ ; 101₂ = 5₈ ; 001₂ = 1₈ portanto 10101001₂ = 251₈

Se você ainda não sabe de cor, faça a conversão utilizando a regra geral. Vamos agora exemplificar com uma conversão entre as bases 2 e 16. Como 2⁴ = 16, basta separarmos em grupos de 4 bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e converter. Por exemplo:

11010101101₂ = 110.1010.1101₂ (separando em grupos de 4 bits, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 110₂ = 6₁₆; 1010₂ = A₁₆ ; 1101₂ = D₁₆ ; portanto 11010101101₂ = 6AD₁₆

Vamos agora exercitar a conversão inversa. Quanto seria 3F5H (lembrar que o H está designando "hexadecimal") em octal? O método mais prático seria converter para binário e em seguida para octal.

3F5H = 11.1111.0101₂ (convertendo cada dígito hexadecimal em 4 dígitos binários) =
= 1.111.110.101₂ (agrupando de tres em tres bits) =
= 1765₈ (convertendo cada grupo de tres bits para seu valor equivalente em octal).

Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10
Vamos lembrar a expressão geral já apresentada:

N_b = a_n.bⁿ + .... + a₂.b² + a₁.b¹ + a₀.b⁰ + a_-1.b^-1 + a_-2.b^-2 + .... + a_-n.b^-n

A melhor forma de fazer a conversão é usando essa expressão. Tomando como exemplo o número 101101₂, vamos calcular seu valor representado na base dez. Usando a expressão acima, fazemos:

101101₂ = 1x2⁵ + 0x2⁴ + 1x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45₁₀

Podemos fazer a conversão de números em qualquer base para a base 10 usando o algoritmo acima.

Exemplos:
a) Converter 4F5H para a base 10 .
Solução: Lembramos que o H significa que a representação é hexadecimal (base 16). Sabemos ainda que F₁₆=15₁₀. Então:
4x16² + 15x16¹ + 5x16⁰ = 4x256 + 15x16 + 5 = 1024 + 240 + 5 = 1269₁₀

b) Converter 3485₉ para a base 10.
Solução: 3x9³ + 4x9² + 8x9¹ + 5x9⁰ = 3x729 + 4x81 + 8x9 + 5 = 2187 + 324 + 72 + 5 = 2588₁₀.

c) Converter 7G₁₆ para a base 10.
Solução: Uma base b dispõe dos algarismos entre 0 e (b-1). Assim, a base 16 dispõe dos algarismos 0 a F e portanto o símbolo G não pertence à representação hexadecimal.

d) Converter 1001,01₂ para a base 10.
Solução: 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ + 0x2^-1 + 1x2^-2 = 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 9,25₁₀

e) Converter 34,3₅ para a base 10.
Solução: 3x5¹ + 4x5⁰ + 3x5^-1 = 15 + 4 + 0,6 = 19,6₁₀

f) Converter 38,3₈ para a base 10.
Solução: Uma base b dispõe dos algarismos entre 0 e (b-1). Assim, a base 8 dispõe dos algarismos 0 a 7 e portanto o algarismo 8 não existe nessa base. A representação 38,3 não existe na base 8.

Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquer
A conversão de números da base dez para uma base qualquer emprega algoritmos que serão o inverso dos acima apresentados. Os algoritmos serão melhor entendidos pelo exemplo que por uma descrição formal. Vamos a seguir apresentar os algoritmos para a parte inteira e para a parte fracionária:

Parte Inteira:
O número decimal será dividido sucessivas vezes pela base; o resto de cada divisão ocupará sucessivamente as posições de ordem 0, 1, 2 e assim por diante até que o resto da última divisão (que resulta em qüociente zero) ocupe a posição de mais alta ordem. Veja o exemplo da conversão do número 19₁₀ para a base 2:

Experimente fazer a conversão contrária (retornar para a base 10) e ver se o resultado está correto.

Parte Fracionária
Se o número for fracionário, a conversão se fará em duas etapas distintas: primeiro a parte inteira e depois a parte fracionária. Os algoritmos de conversão são diferentes. O algoritmo para a parte fracionária consiste de uma série de multiplicações sucessivas do número fracionário a ser convertido pela base; a parte inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa fracionária e a parte fracionária será de novo multiplicada pela base; e assim por diante, até o resultado dar zero ou até encontrarmos o número de casas decimais desejado. Por exemplo, vamos converter 15,65₁₀ para a base 2, com 5 e com 10 algarismos fracionários:

Obs.: Em ambos os casos, a conversão foi interrompida quando encontramos o número de algarismos fracionários solicitadas no enunciado. No entanto, como não encontramos resultado 0 em nenhuma das multiplicações, poderíamos continuar efetuando multiplicações indefinidamente até encontrar (se encontrarmos) resultado zero. No caso de interrupção por chegarmos ao número de dígitos especificado sem encontramos resultado zero, o resultado encontrado é aproximado e essa aproximação será função do número de algarismos que calcularmos. Fazendo a conversão inversa, encontraremos:

Com 5 algarismos fracionários:
Parte inteira: 1111₂ = 15₁₀
Parte fracionária: 0,10100₂ = 1x2^-1 + 0x2^-2 + 1x2^-3 + 0x2^-4 + 0x2^-5 = 0,5 + 0,125 = 0,625₁₀

Com 10 algarismos fracionários:
Parte inteira: 1111₂ = 15₁₀
Parte fracionária: 0,1010011001₂ = 1x2^-1 + 0x2^-2 + 1x2^-3 + 0x2^-4 + 0x2^-5 + 1x2^-6 + 1x2^-7 + 0x2^-8 + 0x2^-9 + 1x2^-10 = 1/2 + 1/8 + 1/64 + 1/128 + 1/1024 = 0,5 + 0,125 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,0009765625 = 0,6494140625₁₀

Ou seja, podemos verificar (sem nenhuma surpresa) que, quanto maior número de algarismos forem considerados, melhor será a aproximação.

Conversão de Números entre duas Bases quaisquer
Para converter números de uma base b para uma outra base b' quaisquer (isso é, que não sejam os casos particulares anteriormente estudados), o processo prático utilizado é converter da base b dada para a base 10 e depois da base 10 para a base b' pedida.

Exemplo: Converter 43₅ para ( )₉.
43₅ = (4 x 5 + 3)₁₀ = 23₁₀ ==> 23/9 = 2 (resto 5) logo 43₅ = 23₁₀ = 25_{9  Clique aqui !!!!}