Algebra Booleana ou Algebra de Boole

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Algebra Booleana ou Algebra de Boole

História

Recebeu o nome de boleana em homenagem a George Boole, matemático inglês, que foi o primeiro a defini-las como parte de um sistema de lógica em meados do século XIX. Mais especificamente, a álgebra booleana foi uma tentativa de utilizar técnicas algébricas para lidar com expressões no cálculo proposicional. Hoje, as álgebras booleanas têm muitas aplicações na electrônica. Foram pela primeira vez aplicadas a interruptores por Claude Shannon, no século XX.

Definição

Uma álgebra booleana é uma 6-upla $(X, ee, wedge, eg, 0, 1)$ consistindo de um conjunto $X$ munido de duas operações binárias $ee$ (também denotado por $+$ , é geralmente chamado de "ou") e $wedge$ (também denotado por $ast$ ou por $cdot$ , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária $eg$ (também denotada por $sim$ ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes $0$ (também denotada por $bot$ ou por $F$ , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e $1$ (também denotada por $op$ ou por $V$ , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer $a, b, c in X$ :

Propriedades Associativas

$(a ee b) ee c = a ee (b ee c)$
$(a wedge b) wedge c = a wedge (b wedge c)$

Propriedades Comutativas

$a ee b = b ee a$
$a wedge b = b wedge a$

Propriedades Distributivas

$a ee (b wedge c) = (a ee b) wedge (a ee c)$
$a wedge (b ee c) = (a wedge b) ee (a wedge c)$

Elementos Neutros

$a ee 0 = a$
$a wedge 1 = a$

Elementos Complementares

$a ee eg a = 1$
$a wedge eg a = 0$

Alguns autores também incluem a propriedade $0 eq 1$ , para evitar a álgebra booleana com somente um elemento.

Exemplos

O exemplo mais simples de álgebra booleana com mais de um elemento é o conjunto munido das seguintes : ${0, 1}$ operações

$ee$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$wedge$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

$eg$	$0$	$1$
	$1$	$0$

Um outro exemplo de álgebra booleana é o conjunto (o elemento é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações: ${0, 1, ?}$ $?$

$ee$	$0$	$1$	$?$
$0$	$0$	$1$	$?$
$1$	$1$	$1$	$1$
$?$	$?$	$1$	$?$

$wedge$	$0$	$1$	$?$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$?$
$?$	$0$	$?$	$?$

$eg$	$0$	$1$	$?$
	$1$	$0$	$?$

Dado um conjunto , o conjunto de munido das operações , , , e onde e , é uma álgebra booleana. $A$ $P(A)$ das partes $A$ $a ee b = a cup b$ $a wedge b = a cap b$ $eg a = A setminus a$ $0 = arnothing$ $1 = A$

O munido das operações , , e , é uma álgebra booleana. Essa álgebra booleana recebe o nome de .intervalo $[0, 1]$ $a ee b = mathrm{max}{a, b}$ $a wedge b = mathrm{min}{a, b}$ $eg a = 1 - a$ lógica fuzzy

Teoremas

Dado uma álgebra booleana sobre $X$ , são válidos para quaisquer $a, b in X$ :

Propriedades Idempotentes

$a ee a = a$
$a wedge a = a$

Dupla Negação

$eg ( eg a) = a$

Leis de De Morgan

$eg (a ee b) = eg a wedge eg b$
$eg (a wedge b) = eg a ee eg b$

Propriedades Absorventes

$a ee (a wedge b) = a$
$a wedge (a ee b) = a$

Elementos Absorventes

$a ee 1 = 1$
$a wedge 0 = 0$

Negações do Zero e do Um

$eg 0 = 1$
$eg 1 = 0$

Definições alternativas da operação binária $eebar$ (também denotado por $oplus$ , é geralmente chamado de "xou" ou de "ou exclusivo")

$(a ee b) wedge ( eg a ee eg b) = (a wedge eg b) ee ( eg a wedge b)$

Ordem

Dado uma álgebra booleana sobre $X$ , é válido para quaisquer $a, b in X$ :

se e somente se $a ee b = b$ $a wedge b = a$

A relação $leq$ definida como $a leq b$ se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em $X$ . O supremo e o ínfimo do conjunto ${a, b}$ são $a ee b$ e $a wedge b$ , respectivamente.

Homomorfismos e isomorfismos

Um homomorfismo entre duas álgebras booleanas $A$ e $B$ é uma função $f: A o B$ que para quaisquer $a, b in A$ :

$f(a ee b) = f(a) ee f(b)$
$f(a wedge b) = f(a) wedge f(b)$
$f(0) = 0$
$f(1) = 1$

Uma consequência é que $f( eg a) = eg f(a)$ .

Um isomorfismo entre duas álgebras booleanas $A$ e $B$ é um homomorfismo bijetor entre $A$ e $B$ . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre $A$ e $B$ , dizemos que $A$ e $B$ são isomorfos.

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